Creo que te sales de contexto. Nada de lo que mencionas es un verbo compuesto.

Hay que tener cuidado en partes como  「終わる」, porque no significa ”Terminar de", sino simplemente "terminarse". 「終わる」 es verbo intransitivo, mientras que 「終える」 es verbo transitivo y significa precisamente "terminar de".
En el caso de que se agregue como sufijo a la forma 「ます」 de un verbo, por lo general se usa, ahora sí, 「終わる」, pero solo en ese caso toma el significado de 「終える」:

読み終わった。 Terminé de leer.

宿題が終わった。 Se terminó la tarea.
宿題を終えた。 Terminé la tarea.

Por lo demás, no creo que corresponda a este tema, en especial lo último, ya que eso en japonés son los llamados 「助動詞」, y normalmente un extranjero no los aprende de esta forma.