¡Hola ツバキ! Me alegro mucho de que sea útil para tí y haya menos errores en mi español lo que pensaba. Voy a coutinuar estudiando este curso y publicandolo. ¡Muchas gracias por ayudarme!

Como traduciría yo del inglés al castellano:

Our new software helps buisinesses communicate with each other better.
Nuestro software es útil para mejorar comunicaciones mtuas de negocio.

Nuestro software ayuda a las empresas a comunicarse mejor entre ellas.

It’s important to share ideas in business.
Es importante que posea en común ideas en negocio.

La oración en inglés me parece ambigüa. Puede significar "Es importante compartir ideas en los negocios" o "Es importante tener ideas compartidas en los negocios".

Call me on my mobile if you get an update.
¿Podría llamarme al teléfono movil, cuando consiga alguna nueva imformación.?

I quit my last job for purely personal reasons.
Dejé el trabajo anterior por una pura razón personal

Renuncié a mi último trabajo por razones puramente personales.
Igual suena raro el puramente, suena a "traducción del inglés". Yo lo quitaría, o diría "renuncié sólo por razones/motivos personales".

The vice president gave an order to work overtime on this project.
El vicepresidente ordenó que hicieran horas extras en este proyecto.

Saludos

En esta frase se me olvidó poner la palabra "nuevo" o "último". ¿Cuál es mejor? ¨¿Y cuál es mejor que la ponga antes de softoware o después?

Es mejor poner "nuevo" antes de la palabra software, suena más natural.

Mis conocimientos de japonés no son suficientes para responderte con certeza.
Sin embargo, より implica comparación, en cuyo caso "más" sería más decuado que "muchos".
Pero creo que el contexto daría la última palabra.
Por ejemplo, un jefe adoctrinando a sus empleados diría "Es necesario hacer más contactos" para estimular las ventas.
Y un orador explicando el modo de operar en los negocios comentaría que "Hace falta hacer muchos contactos".
Espero haberte aclarado algo.
Saludos.

Según tu explicación, sería mejor que introduzca "más" en el caso.
国際（こくさい）ビジネスでは人脈（じんみゃく）を広（ひろ）げることが重要（じゅうよう）です。
Hacer más contactos es importante en negocios internacionales.
Muchas gracias!

Sin embargo, より implica comparación, en cuyo caso "más" sería más decuado que "muchos".

Yo creo que より多く es una construcción medio difícil de traducir.

Cuando decimos AよりBの方が速（はや）いです estamos comparando directamente.
Pero también cuando decimos "ese jugador es muy rápido" estamos comparando de manera implícita: si no vimos nunca correr a nada ni nadie, no sabemos que tan rápido es.

En general traduciría より+adjetivo como más+adjetivo, pero se me ocurren excepciones, porque con más no tiene sentido:
より速い選手(せんしゅ)です -> Es un jugador muy rápido.

Tanto en japonés como castellano estamos comparando con otros jugadores, pero si no decimos "es un jugador más rápido de lo normal" o algo así, con "más" es incorrecto porque no hay comparación directa.

Por eso, ビジネスにはより多く人脈を作る事が重要です diría que es una comparación indirecta: ¿Cuánto es muchos contactos? ¿Cuánto es pocos contactos?.

No lo traduciría como "más" sino "muy": traduciría "hacer muy muchos contactos".

Making contacts is important in interational business.

De todos modos, traduciendo de la frase original en inglés:
Hacer contactos es importante... sin "más" y sin "muchos'.

Saludos